Question

【題目】如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線(xiàn)可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y= x刻畫(huà)．

（1）請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；
（4）在OA上方的拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）

（2）

解：聯(lián)立兩解析式可得： ，

解得： ，或 ．

故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×

=4+ ﹣

=

（4）

解：過(guò)P作OA的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．

設(shè)直線(xiàn)PM的解析式為y= x+b，

∵P的坐標(biāo)為（2，4），

∴4= ×2+b，解得b=3，

∴直線(xiàn)PM的解析式為y= x+3．

由 ，解得 ， ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）利用配方法拋物線(xiàn)的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA ， 代入數(shù)值計(jì)算即可求解；（4）過(guò)P作OA的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線(xiàn)之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線(xiàn)PM的解析式為y= x+b，將P（2，4）代入，求出直線(xiàn)PM的解析式為y= x+3．再與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立，得到方程組 ，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．