Question

【題目】如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做“半高三角形”．

如圖1，對于△ABC，BC邊上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此時，稱△ABC是BC類半高三角形；如圖2，對于△EFG，EF邊上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此時，稱△EFG是EF類半高三角形．

（1）直接寫出下列3個小題的答案．

①若一個三角形既是等腰三角形又是半高三角形，則其底角度數的所有可能值為　 ．

②若一個三角形既是直角三角形又是半高三角形，則其最小角的正切值為　 ．

③如圖3，正方形網格中，L，M是已知的兩個格點，若格點N使得△LMN為半高三角形，且△LMN為等腰三角形或直角三角形，則這樣的格點N共有　 個．

（2）如圖，平面直角坐標系內，直線y＝x+2與拋物線y＝x2交于R，S兩點，點T坐標為（0，5），點P是拋物線y＝x2上的一個動點，點Q是坐標系內一點，且使得△RSQ為RS類半高三角形．

①當點P介于點R與點S之間（包括點R，S），且PQ取得最小值時，求點P的坐標．

②當點P介于點R與點O之間（包括點R，O）時，求PQ+QT的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①45°、15°、75°；②1或；③7； （2）①點P′（，），此時，P（P′）Q取得最小值；②當點P與點R重合，且P、Q、H在一條直線且與直線HT垂直時，PQ+QT有最小值，最小值為4．

【解析】

（1）①②分底邊上的高等于底邊的一半、腰上的高等于腰長的一半兩種情況分別求解即可；③如圖3，這樣的格點N共有7個；

（2）①如圖4，當點P介于點R與點S之間時，與RS平行且與拋物線只有一個交點P′時，PQ取得最小值，即可求解；②當點P與點R重合，且P、Q、H在一條直線且與直線HT垂直時，PQ+QT有最小值，即可求解．

（1）①當底邊上的高等于底邊的一半時，

如下圖△ABC為等腰三角形，AB＝AC，AD＝BC，

則AD＝CD，則∠B＝∠C＝45°；

當腰上的高等于腰長的一半時，

同理底角為75°或15°，

故：答案為45°、15°、75°；

②當底邊上的高等于底邊的一半時，如上圖，△ABC為等腰直角三角形，

故最小角為45°，最小角的正切值為1；

腰上的高等于腰長的一半時，同理可得：最小角的正切值為，

故答案為1或；

③如圖3，這樣的格點N共有7個，具體情況見下圖，小黑點所示的位置，

（2）將拋物線與直線方程聯立并解得：x＝﹣1或2，

即：點R、S的坐標分別為（﹣1，1）、（2，4），則RS＝，

則RS邊上的高為，

則點Q在于RS平行的上下兩條直線上，如下圖，

過點Q作QH⊥NH交于點H，則HQ＝，則QN＝＝3，

點N（0，2），則點M（5，0），點M于點T重合，

則點Q的直線方程為：y＝x+5，

當該直線在直線RS的下方時，y＝x﹣1，

故點Q所在的直線方程為：y＝x+5或y＝x﹣1；

①如圖4，當點P介于點R與點S之間時，

設與RS平行且與拋物線只有一個交點P′的直線方程為：y＝x+d，

將該方程于拋物線方程聯立并整理得：x2﹣x﹣d＝0，

△＝1+4d＝0，解得：d＝﹣，

此時，x2﹣x+＝0，解得：x＝，

點P′（，），此時，P（P′）Q取得最小值；

②當點P介于點R與點O之間（包括點R，O）時，

如圖4，連接PQ，過點Q作QH垂直過點T于x軸平行的直線于點H，

則HQ＝QT，

PQ+QT＝PQ+QH，

當點P與點R重合，且P、Q、H在一條直線且與直線HT垂直時，PQ+QT有最小值，

則其最小值為yT﹣yR＝5﹣1＝4．