Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）四邊形AOCD為菱形．

【解析】

試題分析：（1）連接AC，由題意得==，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結論；

（2）四邊形AOCD為菱形．由=，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

試題解析：（1）連接AC，

∵點CD是半圓O的三等分點，

∴==，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠OCE+∠E=180°，

∵CE⊥AD，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）四邊形AOCD為菱形．

理由是：

∵=，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴平行四邊形AOCD是菱形．