Question

【題目】已知在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點D從點B出發沿射線BC方向移動．在AD右側以AD為腰作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．連接CE．

（1）求證：△ACE≌△ABD；

（2）點D在移動過程中，請猜想CE，CD，DE之間的數量關系，并說明理由；

（3）若AC＝，當CD＝1時，結合圖形，請直接寫出DE的長 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；(3)或

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，然后根據同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAE，進而利用SAS可證明△ABD≌△ACE；

（2）當點D在線段BC上時，由三角形全等的性質可得∠ABD＝∠ACE＝45°，易得∠ECD＝90°，然后根據勾股定理可得結論，同理可得點D在線段BC的延長線上時CE，CD，DE之間的數量關系；

（3）當點D在線段BC上時，首先求出BC，然后可得BD的長，根據全等三角形的性質可得CE的長，利用勾股定理可得答案，當點D在線段BC的延長線上時，同理可求DE.

解：（1）∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，

∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD與△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

(2)當點D在線段BC上時，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴△ECD是直角三角形，

∴CE2＋CD2＝DE2，

當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，同理可得：CE2＋CD2＝DE2；

（3）當點D在線段BC上時，

∵△ABD≌△ACE，AC＝，CD＝1，

∴BC=AC=2，

∴BD=BC-CD=1，

∴CE=1，

∴，

當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，同理可得CE=BD= BC+CD=3，

∴，

綜上所述，DE的長為或.