Question

如圖1，在長為44，寬為12的矩形PQRS中，將一張直角三角形紙片ABC和一張正方形紙片DEFG如圖放置，其中邊AB、DE在PQ上，邊EF在QR上，邊BC、DG在同一直線上，且Rt△ABC兩直角邊BC=6，AB=8，正方形DEFG的邊長為4．從初始時刻開始，三角形紙片ABC，沿AP方向以每秒1個單位長度的速度向左平移；同時正方形紙片DEFG，沿QR方向以每秒2個單位長度的速度向上平移，當邊GF落在SR上時，紙片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G點與S點重合時，兩張紙片同時停止移動．設平移時間為x秒．
（1）請填空：當x=2時，CD=

2

2

，DQ=

4

2

，此時CD+DQ

=

CQ（請填“＜”、“=”、“＞”）；
（2）如圖2，當紙片DEFG沿QR方向平移時，連接CD、DQ和CQ，求平移過程中△CDQ的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍（這里規定線段的面積為零）；
（3）如圖3，當紙片DEFG沿RS方向平移時，是否存在這樣的時刻x，使以A、C、D為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出對應x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x=2時，延長ED交BC于H，延長GD交PQ于點K，就有EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，就可以求出CH=6-2x，再根據勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值；
（2）由圖形觀察可以得出S_△CDQ=S_△CBQ-S_△CHD-S梯形HBQD，只要根據條件分別表示出=S_△CBQ、S_△CHD、S_梯形HBQD的面積即可；
（3）根據數學分類討論思想，從不同的時間進行計算．如圖6，當CD=AC時，作CH⊥GD的延長線于點H，解直角三角形CHD；如圖7，當AD=AC時，作DH⊥PQ于點H，解直角三角形ADH；如圖8，當AD=CD時，作DK⊥BC于BC延長線于點K，作DH⊥PQ于點H，解直角三角形DCK和直角三角形DHA；如圖9，當CD=AC時，作DK⊥BC于BC延長線于點K，解直角三角形DKC；如圖10，當AD=AC時，作DH⊥PQ于點，解直角三角形DHA．結合各圖形運動的不同位置表示出相應線段的長度，根據勾股定理建立方程求出x的值即可．

解答：解：（1）延長ED交BC于H，延長GD交PQ于點K，
∴EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，
∵x=2，BC=6，DE=4，
∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，
∴CH=2．
在Rt△CHD、Rt△DKQ、Rt△CBQ中，由勾股定理得：
CD=2

2

，DQ=4

2

，CQ=6

2

．
∴CD+DQ=6

2

，
∴CD+DQ=CQ．
故答案為：2

2

，4

2

，=；
（2）當0≤x≤2時，如圖2，
∵EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，CH=6-2x，
∴S_△CDQ=

(4+x)6

2

-

(6-2x)x

2

-

(x+4+x)2x

2

，
=-x²-4x+12
當2＜x≤3時，如圖5，作CH⊥DG于H，DK⊥BC于K，
∴EQ=BK=2x，CK=HD=6-2x，BQ=4+x，CH=x，
∴S_△CDQ=CK•KD+KB•BQ-

BC•BQ

2

-

HD•HC

2

-

DE•QE

2

，
=（6-2x）x+2x（4+x）-

6(4+x)

2

-

(6-2x)x

2

-

4×2x

2

，
=x²+4x-12；
當3＜x≤4時，如圖3，作DH⊥BC的延長線于H，
∴EQ=HB=2x，HD=x，BQ=4+x，CH=2x-6，
∴S_△CDQ=HB•QB-

HD•HC

2

-

DE•QE

2

-

BC•BQ

2

，
=2x（4+x）-

x(2x-6)

2

-

4×2x

2

-

6(4+x)

2

，
=8x+2x²-x²+3x-4x-12-3x，
=x²+4x-12．
∴S=

-x2-4x+12(0≤x≤2) x2+4x-12(2＜x≤4)

，
（3）∵紙片DEFG沿RS方向平移，
∴4≤x≤24．
如圖6，當CD=AC時，作CH⊥GD的延長線于點H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-6-4=2，CH=（x+4）-（2x-4）=8-x，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=

64+36

=10
在Rt△CHD中，由勾股定理，得
（8-x）²+2²=100，
解得：x₁=8+4

6

，x₂=8-4

6

＜4（舍去）；
如圖7，當AD=AC時，作DH⊥PQ于點H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-4=8，AH=（x+4+8）-（2x-4）=16-x，
在Rt△ADH中，由勾股定理，得
（16-x）²+8²=100，
解得：x₁=22，x₂=10；
如圖8，當AD=CD時，作DK⊥BC于BC延長線于點K，作DH⊥PQ于點H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DK=2x-4-（x+4）=x-8，KC=12-4-6=2，
AH=x+4+8-（2x-4）=16-x，DH=12-4=8．
∴（x-8）²+4=（16-x）²+64，
∴x=15

3

4

；
綜上所述：紙片DEFG沿RS方向平移，當x的值為：22，10，15

3

4

，8+4

6

時，
以A、C、D為頂點的三角形是等腰三角形．

點評：本題是一道綜合性很強的數學動點問題，考查了勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，等腰三角形的性質的運用，在解答本題時建立直角三角形運用勾股定理求解是關鍵．