Question

如圖所示，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍的中點為P。若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行。

（1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由。

（2）在木棍滑動的過程中，當滑動到什么位置時，△AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值。

Answer 1

（1）不變。理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變。

（2）當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時，△AOB的面積最大。

如圖，若h與OP不相等，

則總有h<OP。

故根據三角形面積公式，

有h與OP相等時△AOB的面積最大

此時，S_△AOB=.

所以△AOB的最大面積為。