Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，點G為邊BC的中點，點D從點C出發沿CA向點A運動，到點A停止，以GD為邊作正方形DEFG，則點E運動的路程為_______．

Answer 1

【答案】3

【解析】

建立下圖所示的坐標系，過點E作EH⊥y軸，垂足為H，先證明△EDH≌△DGC，則DH=GC=2，DC=EH，設DC=t，則EH=t，點E的坐標為（-t，t+2），然后求得當t=0和t=3時點E的坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求解．

解：建立如圖所示的坐標系，過點E作EH⊥y軸，垂足為H．

∵BC=4，點G為邊BC的中點，
∴GC=2．
∵DEFG為正方形，
∴ED=DG，∠EDG=90°．
∴∠EDH+∠GDC=90°．
又∵∠EDH+∠HED=90°，
∴∠GDC=∠HED．
在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，
∴△EDH≌△DGC．
∴DH=GC=2，DC=EH．
設DC=t，則EH=t，
∴點E的坐標為（-t，t+2），
∴點E在直線y=-x+2．
由題意可知：0＜t≤3，
當t=0時，y=2，E（0，2）
當t=3時，y=5，E（-3，5）
∴點E運動的路線長= ．
故答案為：3 ．