Question

【題目】已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；
（3）寫出求圖中陰影部分的面積的思路．（不求計算結果）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠C=60°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A=60°，

∴∠ODA=∠C，

∴OD∥BC，

∵DF⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴DF為⊙O的切線

（2）解：∵等邊三角形ABC的邊長為4，

∴AB=AC=4，∠C=60°，

∵AO=AD=2，

∴CD=2，

在Rt△CDF中，∵sinC= ，

∴DF=2sin60°=

（3）解：連接OE，如圖，

∵CF= CD=1，

∴EF=CE﹣CF=1，

∴S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE= （1+2） ﹣ = ﹣ π．

【解析】（1）連接OD，如圖，利用等邊三角形的性質得到∠A=∠C=60°，再證明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根據切線的判定定理可判斷DF為⊙O的切線；（2）利用等邊三角形的性質得到AB=AC=4，∠C=60°，則CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定義可計算出DF；（3）連接OE，如圖，根據扇形的面積公式，利用S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE進行計算．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．