Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如圖（1）以Rt△ABC的三邊為直徑的三個半圓面積分別表示為S₁、S₂、S₃，則：S₁、S₂、S₃之間有什么關系？證明你的結論．
（2）如圖（2），將圖（1）的面積為S₃的半圓沿斜邊AB所在的直線翻折，翻折后的半圓恰好經過直角頂點C，若AB=5，AC=4，請你利用（1）中的結論求出圖（2）中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）利用圓的面積公式表示出S1、S2、S3，然后根據勾股定理即可解答；
（2）利用（1）的結果，以及S_陰影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃即可解答．

解答：解：（1）S₁=

1

2

π（

BC

2

）²=

π•BC2

8

，
同理，S₂=

π•AC2

8

，S₃=

πAB2

8

，
∵BC²+AC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（2）S_陰影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃=S_△ABC，
在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=3，
則S_陰影=S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4×3=6．

點評：本題考查了勾股定理，以及圓的面積公式，正確證明S₁+S₂=S₃是關鍵．