Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形OACB的頂點A、B分別在軸和軸上，已知OA=5，OB=3，點D的坐標是（0，1），點P從點B出發以每秒1個單位的速度沿折線BCA的方向運動，當點P與點A重合時，運動停止，設運動的時間為秒．

（1）點P運動到與點C重合時，求直線DP的函數解析式；

（2）求△OPD的面積S關于的函數解析式，并寫出對應的取值范圍；

（3）點P在運動過程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP為底邊的等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在滿足條件的點P，其坐標為或或

【解析】

（1）先求出C點坐標，然后用待定系數法求直線DP的解析式即可；

（2）分點P在線段BC上和在線段AC上兩種情況，分別求得s關于的函數解析式；

（3）當點P在線段BC上時，可用t表示出點P點坐標，再分別表示出DP、AP和AD的長，然后再分DP=AP、DP=AD和AP=AD三種情況分別求得關于t的方程，即可求得P點的坐標；當點P在線段AC上時，則只能有PD=AD，則點D在線段AP的垂直平分線上，即可確定線段AP中點的坐標，從而可求得P點坐標．

解：（1），，且四邊形為長方形，

，

∴當點P與點C重合時，P點坐標為，

設直線DP解析式為，

，解得，

直線DP解析式為．

（2）當時，如圖1，

則，且，

，

當時，，

．存在滿足條件的點P，其坐標為或或

（3）存在，理由如下：

當點P在線段BC上時，如圖2，

設P點坐標為，

，，

，，，

∵△ADP是不以DP為底邊的等腰三角形

∴有，兩種情況，

①當時，則有，解得，此時P點坐標為；

②當時，則有，解得（舍去）或，此時P點坐標為；

當點P在線段AC上時，

，

∴只有，

在線段的垂直平分線上，

∴線段的中點坐標為，

∴P點坐標為；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為或或．