Question

【題目】八年級的小明同學通到這樣一道數學題目：△ABC為邊長為4的等邊三角形，E是邊AB邊上任意一動點，點D在CB的延長線上，且滿足AE＝BD．

（1）如圖①，當點E為AB的中點時，DE＝　 　；

（2）如圖②，點E在運動過程中，DE與EC滿足什么數量關系？請說明理由；

（3）如圖③，F是AC的中點，連接EF．在AB邊上是否存在點E，使得DE+EF值最小？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．（直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）DE＝CE，理由見解析；（3）這個最小值為2；

【解析】

（1）如圖①，過點E作EH⊥BC于H，由等邊三角形的性質可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性質可求BH=1，EH，由勾股定理可求解；

（2）如圖②，過E作EF∥BC交AC于F，可證△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可證△DBE≌△EFC，可得DE=CE；

（3）如圖③，將△ABC沿AB翻折得到△ABC'，連接C'F交AB于點E'，連接CE'，DE'，過點F作FH⊥AC'于點H，由“SAS”可證△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得當點C'，點E'，點F三點共線時，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.

（1）如圖①，過點E作EH⊥BC于H，

∵△ABC為邊長為4的等邊三角形，點E是AB的中點，

∴AE=BE=2=DB，∠ABC=60°，且EH⊥BC，

∴∠BEH=30°，

∴BH=1，EHBH，

∴DH=DB+BH=2+1=3，

∴DE.

故答案為：；

（2）DE=CE.理由如下：

如圖②，過E作EF∥BC交AC于F.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC.

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF=AF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

∴BE=CF.

∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，且AE=EF=DB，BE=CF，

∴△DBE≌△EFC(SAS)，

∴DE=CE，

（3）如圖③，將△ABC沿AB翻折得到△ABC'，連接C'F交AB于點E'，連接CE'，DE'，過點F作FH⊥AC'于點H.

∵將△ABC沿AB翻折得到△ABC'，

∴AC=AC'=BC=BC'=4，∠BAC=∠BAC'=60°，且AE'=AE'，

∴△ACE'≌△AC'E'(SAS)，

∴C'E'=CE'，

由（2）可知：DE'=CE'，

∴C'E'=CE'=DE'.

∵DE+EF=C'E+EF=C'E'+EF，

∴當點C'，點E'，點F三點共線時，DE+EF的值最小.

∵F是AC的中點，

∴AF=CF=2，且HF⊥AC'，∠FAH=180°﹣∠CAB﹣∠C'AB=60°，

∴AH=1，HFAH，

∴C'H=4+1=5，

∴C'F，

∴DE+EF的最小值為.