Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；

（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2）4；（3）M點的坐標為（-2，3），（，），（4，15）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線與x軸的交點，即當y=0，C點坐標即當x=0，分別令y以及x為0求出A，B，C坐標的值；

（2）四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP，由A，B，C三點的坐標，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，則可求出△ABC的面積，根據已知可求出P點坐標，可知點P到直線AB的距離，從而求出△ABP的面積，則就求出四邊形ACBP的面積；

（3）假設存在這樣的點M，兩個三角形相似，根據題意以及上兩題可知，∠PAC和∠MGA是直角，只需證明或即可．設M點坐標，根據題中所給條件可求出線段AG，CA，MG，CA的長度，然后列等式，分情況討論，求解．

試題解析：（1）令y=0，

得x2-1=0

解得x=±1，

令x=0，得y=-1

∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；

（2）∵OA=OB=OC=1，

∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°．

∵AP∥CB，

∴∠PAB=∠CBO=45°．

過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形，

令OE=a，則PE=a+1，

∴P（a，a+1）．

∵點P在拋物線y=x2-1上，

∴a+1=a2-1．

解得a1=2，a2=-1（不合題意，舍去）．

∴PE=3．

∴四邊形ACBP的面積S=ABOC+ABPE=×2×1+×2×3=4；

（3）假設存在

∵∠PAB=∠BAC=45°，

∴PA⊥AC

∵MG⊥x軸于點G，

∴∠MGA=∠PAC=90°

在Rt△AOC中，OA=OC=1，

∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=3，

∴AP=3

設M點的橫坐標為m，則M（m，m2-1）

①點M在y軸左側時，則m＜-1．

（ⅰ）當△AMG∽△PCA時，有．

∵AG=-m-1，MG=m2-1．

即

解得m1=-1（舍去）m2=（舍去）．

（ⅱ）當△MAG∽△PCA時有，

即．

解得：m=-1（舍去）m2=-2．

∴M（-2，3）．

②點M在y軸右側時，則m＞1

（ⅰ）當△AMG∽△PCA時有

∵AG=m+1，MG=m2-1

∴

解得m1=-1（舍去）m2=．

∴M（，）．

（ⅱ）當△MAG∽△PCA時有，

即．

解得：m1=-1（舍去）m2=4，

∴M（4，15）．

∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似

M點的坐標為（-2，3），（，），（4，15）．