Question

【題目】26．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，EF⊥AB于點F，EF交BD于點G，設AD=a，BC=b．
（1）求CD的長度（用a，b表示）；
（2）求EG的長度（用a，b表示）；
（3）試判斷EG與FG是否相等，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，

∴DA、BC為半圓O的切線，

又∵CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，

∴DE=DA=a，CE=CB=b，

∴CD=a+b

（2）解：∵EF⊥AB，

∴EG∥BC，

∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），

∴EG=

（3）解：EG與FG相等．理由如下：

∵EG∥BC，

∴ = ，即 = ①，

又∵GF∥AD，

∴ = ，即 = ②，

①+②得 + = + =1，

而EG= ，

∴ + =1，

∴FG= ，

∴EG=FG．

【解析】（1）由AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，根據切線的判定方法得到DA、BC為半圓O的切線，而CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，根據切線長定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；（2）易得EG∥BC，根據平行線分線段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG= ；（3）由EG∥BC，根據平行線分線段成比例定理 = ，即 = ，由GF∥AD得到 = ，即 = ，則 + = + =1，然后把EG= 代入計算即可得到FG= ，即可得到EG=FG．