Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，且BD為直徑，∠ACB=45°，過A點的AC的垂線交BC的延長線于點E．


（1）求證：BE=CD；
（2）如果AD= ，求圖中陰影的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠ACB=45°，

∵AE⊥AC，

∴△ADE與△ABD是等腰直角三角形，

∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△ABE與△ADC中， ，

∴△ABE≌△ADC，

∴BE=CD；

（2）

解：連接AO，則∠AOD=90°，

∵AD= ，

∴AO=OD=1，

∴S陰影=S扇形﹣S△AOD= ﹣ ×1×1= ﹣ ．

【解析】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=45°，推出△ADE與△ABD是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）連接AO，則∠AOD=90°，根據勾股定理得到AO=OD=1，根據圖形的面積公式即可得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓內接四邊形的性質(把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形)，還要掌握扇形面積計算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關知識才是答題的關鍵．