Question

【題目】如圖，在正方形外取一點，連接、、.過點作的垂線交于點，連接.若，，下列結論：①；②；③點到直線的距離為；④，其中正確的結論有_____________（填序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結合三角形的外角的性質，易得∠BEP=90°，即可證；
③過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可。

解：

①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，

∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此選項成立；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此選項成立；
③過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，

又

∴點B到直線AE的距離為

故此選項不正確；
④如圖，連接BD，

在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，

又

∵△APD≌△AEB，

= S正方形ABCD

故此選項正確．
∴正確的有①②④，

故答案為：①②④