Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點A的坐標為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設點P的橫坐標為m．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

（Ⅱ）當點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；

（Ⅲ）當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=﹣x+3；（2） ；（3）或

【解析】試題分析：（1）把A、C兩點代入拋物線的解析式中列方程組可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐標，利用待定系數法求直線BC的解析式；

（2）根據解析式分別表示M、N兩點的坐標，其縱坐標的差就是MN的長，配方后求最值即可；

（3）分兩種情況：①當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，②當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，根據MN=3列方程解出即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線過A、C兩點，∴代入拋物線解析式可得： ，解得： ，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，∵B點在A點右側，∴B點坐標為（3，0），設直線BC解析式為y=kx+s，把B、C坐標代入可得： ，解得： ，∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），∵P在線段OB上運動，∴M點在N點上方，∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴當m=時，MN有最大值，MN的最大值為；

（3）∵PM⊥x軸，∴MN∥OC，當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=3，此方程無實數根，當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，∴m2﹣3m=3，解得m= 或m=．

綜上可知當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為或．