Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點橫坐標是2，與軸交于A（，0）、B（，0），﹤0﹤，與軸交于點C，為坐標原點，．

（1）求證：；

（2）求、的值；

（3）當﹥0且二次函數圖象與直線僅有一個交點時，求二次函數的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 當時，，；當時，， ；(3)4.

【解析】

試題分析：(1)因為圖象頂點的橫坐標是2，所以可證，從而證明結論成立；

(2)根據拋物線頂點的橫坐標是2，可得，根據一元二次方程根與系數關系可得：，，又因為tan∠CAO=，tan∠CBO=，，可以求出，所以可得：，然后分情況求出m、n的值；

(3) 當時，可得二次函數的表達式為：，根據二次函數圖象與直線僅有一個交點可得：一元二次方程有兩個相等的實數根，從而得到：，從而求出p的值，可以得到：此時二次函數的表達式為：，從而得到函數的最大值是4.

試題解析：（1）二次函數圖象頂點的橫坐標是,

將2代入頂點橫坐標得：

∴，

（2） ∵已知二次函數圖象與軸交于A（，0）、B（，0），

由（1）知，

∴，，

∵﹤0﹤，

∴在Rt△ACO中，tan∠CAO=，

在Rt△CBO中，tan∠CBO=，

∵，

∴，

∵ ﹤0﹤，

∴，

∴，

即

∴，

∴，

當時，，

解得：，

當時，，

解得：，

（3）當時，二次函數的表達式為：，

∵二次函數圖象與直線僅有一個交點

∴方程組僅有一個解

∴一元二次方程

即有兩個相等根，

∴，

解得：，

此時二次函數的表達式為：，

∵，

∴有最大值.