Question

（2013•椒江區一模）我們把弧長等于半徑的扇形叫等邊扇形．如圖，扇形OAB是等邊扇形，設OA=R，下列結論中：①∠AOB=60°；②扇形的周長為3R；③扇形的面積為

1

2

R2；④點A與半徑OB中點的連線垂直OB；⑤設OA、OB的垂直平分線交于點P，以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定會經過扇形的弧AB的中點．其中正確的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據弧長的計算公式判斷①錯誤；
根據扇形的周長定義判斷②正確；
根據S_扇形=

1

2

lR（其中l為扇形的弧長）判斷③正確；
先由等邊扇形的定義得出AB＜OA，再根據等腰三角形三線合一的性質得出AM與OB不垂直，判斷④錯誤；
由線段垂直平分線的性質及三角形兩邊之和大于第三邊得出OP=PA＞

1

2

OA，又OA=OC，OP+PC=OC，則PC＜

1

2

OC＜OP=AP，即PC＜圓P的半徑，判斷⑤錯誤．

解答：解：①設∠AOB=n°，
∵OA=OB=

AB

=R，
∴R=

nπR

180

，
∴n=

180

π

＜60，故①錯誤；

②扇形的周長為：OA+OB+

AB

=R+R+R=3R，故②正確；

③扇形的面積為：

1

2

AB

•OA=

1

2

R•R=

1

2

R2，故③正確；

④如圖，設半徑OB的中點為M，連接AM．
∵OA=OB=

AB

=R，
∴AB＜R=OA，
∵OM=MB，
∴AM與OB不垂直，故④錯誤；

⑤如圖，設弧AB的中點為C．
∵OP=PA＞

1

2

OA，
∵OA=OC，
∴OP＞

1

2

OC，
∵OP+PC=OC，
∴PC＜

1

2

OC＜OP=AP，
即PC＜圓P的半徑，
∴以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定不會經過扇形的弧AB的中點C．
故選B．

點評：本題考查了弧長的計算，扇形的周長與面積，等腰三角形、線段垂直平分線的性質，三角形三邊關系定理，三點共圓的條件，綜合性較強，難度適中．