Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．

求證：

（1）CD⊥DF；

（2）BC=2CD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用在同圓中所對(duì)的弧相等，弦相等，所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和可證得∠CDF=90°，則CD⊥DF；

（2）應(yīng)先找到BC的一半，證明BC的一半和CD相等即可．

證明：（1）∵AB=AD，

∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．

∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，

∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．

∴∠ADB=（180°﹣∠BAD）÷2=90°﹣∠DFC．

∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，

∴CD⊥DF．

（2）過F作FG⊥BC于點(diǎn)G，

∵∠ACB=∠ADB，

又∵∠BFC=∠BAD，

∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．

∴FB=FC．

∴FG平分BC，G為BC中點(diǎn)，

∵在△FGC和△DFC中，

∴△FGC≌△DFC（ASA），

∴

∴BC=2CD．