Question

【題目】如圖，圖1、圖2、圖3、…圖n分別是⊙O的內接正三角形ABC，正四邊形ABCD,正五邊形ABCDE,、…、正n邊形ABCD…，點M、N分別從點B,C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動.

（1）求圖1中∠APN的度數；

（2）求圖2中，∠APN的度數，求圖3中∠BPN的度數；

（3）試探索∠APN的度數與正多邊形邊數n的關系（直接寫答案）.

Answer 1

【答案】（1）∠APN=60°；（2）90°；108°；（3）.

【解析】

（1）由△ABC為等邊三角形可知∠ABC=60°，再由等速運動可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性質可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代換可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度數；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度數和∠ABC的度數相等，圖③中∠APN的度數和∠ABC的度數相等；

（3）結合（1）（2）可得到∠APN的度數等于多邊形的內角的度數，可得到結論．

（1）圖1:∵點M、N分別從點B. C開始以相同的速度在O上逆時針運動，

∴劣弧BM=劣弧CN

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；

（2）同理：圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；

（3）由（1）、（2）可知，

60°=，90°=，108°=，

∴∠APN=它所在的正多邊形的內角度數，

∴在圖n中，∠APN=.