Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圓心0到BD的距離為3，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠CAB=∠CDB（同弧所對的圓周角相等），∠CAB=40°，

∴∠CDB=40°；

又∵∠APD=65°，

∴∠BPD=115°；

∴在△BPD中，

∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°

（2）解：過點O作OE⊥BD于點E，則OE=3．

∵AB是直徑，

∴AD⊥BD（直徑所對的圓周角是直角）；

∴OE∥AD；

又∵O是AB的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴AD=2OE=6．

【解析】（1）由同弧所對的圓周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根據平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依據三角形內角和定理求∠B即可；（2）過點O作OE⊥BD于點E，則OE=3．根據直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定知OE∥AD；又由O是直徑AB的半徑可以判定O是AB的中點，由此可以判定OE是△ABD的中位線；最后根據三角形的中位線定理計算AD的長度．
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和三角形中位線定理，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能得出正確答案．