Question

（2013•新民市一模）如圖△ABC中，AB=AC，O為AB上的一點，⊙O經過點B且與AC相切于F點，⊙O與BC相交于點D，作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）如果CE=2，AF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD．欲證明DE為⊙O的切線，只需證明OD⊥DE．
（2）如圖，連接OF．利用矩形的判定定理（有三個角是直角的四邊形是矩形）推知四邊形ODEF是矩形，則EF=OD=r．然后在Rt△AFO中，根據勾股定理知，OF=4．

解答：（1）證明：如圖，連接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．

（2）如圖，連接OF．設⊙O的半徑是r．
∵AC與⊙O相切，
∴OF⊥AC．
∴∠OFE=∠FED=∠ODE=90°，
∴四邊形ODEF是矩形，
∴OD=EF=r，∠FOD=90°．
∵AB=AC，∴AO+r=AF+EF+FC=3+r+2=5+r．
∴AO=5．
在Rt△AFO中，根據勾股定理知，OF=

OA2-AF2

=

52-32

=4，即r=4，
∴⊙O的半徑是4．

點評：本題考查了切線的判定、勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．