Question

【題目】如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA，PB，切點分別為點A，B．

（1）連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①當DP= cm時，四邊形AOBD是菱形；

②當DP= cm時，四邊形AOBP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1；-1．

【解析】

試題分析：（1）利用切線的性質可得OC⊥PC．利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求得∠ACP=30°，從而求得．

（2）①要使四邊形AOBD是菱形，則OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．

②要使四邊形AOBP是正方形，則必須∠AOP=45°，OA=PA=1，則OP=，所以DP=OP-1．

試題解析：（1）連接OA，AC

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，

在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠APO=30°

∴∠ACP=∠APO，

∴AC=AP，

∴△ACP是等腰三角形．

（2）①DP=1，理由如下：

∵四邊形AOBD是菱形，

∴OA=AD=OD，

∴∠AOP=60°，

∴OP=2OA，DP=OD．

∴DP=1，

②DP=-1，理由如下：

∵四邊形AOBP是正方形，

∴∠AOP=45°，

∵OA=PA=1，OP=，

∴DP=OP-1

∴DP=-1．