Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點D將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，將一個足夠大的直角三角板的頂點P從D點出發沿線段DA→AB移動，且一直角邊始終經過點D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點M，N．
（1）填空：D點坐標是（　　，　　），E點坐標是（　　，　　）；
（2）如圖1，當點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點P在線段AB上移動時，設P點坐標為（x，2），記△DBN的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數關系式，并求出S隨x增大而減小時所對應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標為：（2，0），（2，4），（2，﹣4）。
（3）S隨x增大而減小時，0≤x≤2或4≤x≤6。

解析試題分析：（1）根據△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點的坐標，再根據DE=OD=2，求出E點的坐標：
∵將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，∴OA=OD。
∵OA=2，∴OD=2。∴D點坐標是（2，0），DE=OD=2。∴E點坐標是（2，2）。
（2）由翻折可知四邊形AODE為正方形，過M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=，再根據直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設MN的解析式為y=x+b，根據DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），，CN=6+b，MN=。分CM=CN，CM=MN， CM=MN三種情況分別求出點M的坐標。
（3）根據題意先證出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S與x之間的函數關系式，根據題意得：
當0≤x≤2時，
∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠EPD=90°，∴∠DPE=∠EPD。
∴△PBN∽△DEP，∴，即。∴。
∴。
當2＜x≤6時，
∵△PBN∽△DEP，∴，即。∴。
∴。
∴S與x之間的函數關系式：。
根據①當0≤x≤2時，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，②當2＜x≤6時，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，即可得出答案。
解：（1）（2，0），（2，2）。
（2）存在點M使△CMN為等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四邊形AODE為正方形，
過M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，
∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4，MN=。
∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，
∴設MN的解析式為y=x+b，
而DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，∴M（2，2+b），N（6，6+b）。
∴。
分三種情況討論：
①當CM=CN時，4²+（2+b）²=（6+b）²，解得：b=﹣2，
此時M（2，0）。
②當CM=MN時，4²+（2+b）²=（）²，解得：b₁=2，b₁=﹣6（不合題意舍去），
此時M（2，4）。
③當CM=MN時，6+b=，解得：b=﹣6，
此時M（2，﹣4）。
綜上所述，存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標為：
（2，0），（2，4），（2，﹣4）。
（3）S與x之間的函數關系式為：。
①當0≤x≤2時，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，
當x≤4時，S隨x的增大而減小，即0≤x≤2；
②當2＜x≤6時，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，
當x≥4時，S隨x的增大而減小，即4≤x≤6。
綜上所述：S隨x增大而減小時，0≤x≤2或4≤x≤6。