Question

【題目】如圖，O為矩形ABCD的對角線BD的中點，點E在AD上，連接EB、EO，BD平分∠EBC，點F在BE上，tan∠OFE＝tan∠ABD，若AE=3EF，CD=3，則OD的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

分別過點O作OG⊥EF于點G，OM⊥BC于點M，延長MO交AD于點N，則MN⊥AD，先由等角對對邊證明BE=ED．然后根據角度的相互轉化得出∠BEO=∠OFE，從而有EO=FO，再根據等腰三角形三線合一的性質得出EG=FG，設EG=FG=a，用含a的式子表示出AE，BE的長，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出關于a的方程，從而可得出a的值，進行可得出AD的長，最后在Rt△ABD中，可求出BD的長，利用OD=BD即可得出結果．

解：分別過點O作OG⊥EF于點G，OM⊥BC于點M，延長MO交AD于點N，

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠C=∠A=90°，AB=CD=3，AD∥BC，

∴∠DBC=∠EDB，MN⊥AD，

∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，

又O為BD的中點，∴EO⊥BD，∠BEO=∠DEO．

設∠EBO=∠OBM=x，則∠ABD=90°-x，

又tan∠OFE＝tan∠ABD，

∴∠OFE=∠ABD=90°-x．

又EO⊥BD，∴∠BEO=90°-∠EBO=90°-x，

∴∠BEO=∠OFE，∴OF=OE，又OG⊥EF，∴EG=FG．

設EG=FG=a，則EF=2a，∴AE=3EF=6a，

又EO平分∠BED，OG⊥BE，ON⊥ED，∴OG=ON，又OE=OE，

∴Rt△EGO≌Rt△ENO，∴EN=EG=a，

∴AN=AE+EN=7a，

∵O為BD中點，NO∥AB，∴N為AD的中點，∴ND=AN=7a，

∴ED=EN+DN=8a=BE，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE2+AB2=BE2，

（6a）2+32=（8a）2，解得a2=．

∴AD2=4AN2=4×49a2=63，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD==，

∴OD=BD=．

故答案為：．