Question

如圖所示的平面直角坐標系中，有一條拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之和最小？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴

- b 2a =1 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴二次函數y=ax²+bx+c的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在．
令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴點A（-1，0），
∵點A與B關于x=1對稱，
∴連接BC，則直線BC與直線x=1的交點即為P點，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∴

b=-3 3k+b=0

，
解得：

b=-3 k=1

，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當x=1時，y=1-3=-2，
∴點P的坐標為（1，-2）．