Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D在CO的延長線上，連接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2 ．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∵sinA= = = ，

∴∠A=60°，

∵AO=CO，

∴△AOC為等邊三角形，

∴∠AOC=∠ACO=60°，

∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°，

∵∠BOD=∠AOC=60°，

∴∠OBD=180°﹣（∠BOD+∠D）=90°，

∴OB⊥BD，

則BD為圓O的切線

（2）解：∵AB為圓O的直徑，且AB=4，

∴OB=OC=2，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

∵OC=OB，

∴∠BCD=∠OBC，

∴∠D=∠OBC，

在△BCD和△OCB中，

∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，

∴△BCD∽△OCB，

∴ = ，即 = ，

則CD=6

【解析】（1）由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，進而得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數定義求出sinA的值，利用特殊角的三角函數值求出∠A的度數為60度，再由OA=OC，得到三角形AOC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩個角為60度，進而求出∠BCD為30度，利用三角形內角和定理求出∠OBD為直角，即OB垂直于BD，即可得證；（2）由AB為直徑，求出半徑為2，由BC=BD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OC=OB得到一對角相等，等量代換得到∠D=∠OBC，再由一對公共角相等，得到三角形OCB與三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CD的長．