Question

【題目】如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C＝90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E，交BC于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）已知sinA＝，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE．根據OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根據BE是△ABC的角平分線得到∠OEB=∠EBC，從而判定OE∥BC，最后根據∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°證得結論AC是⊙O的切線．

（2）連接OF，利用S陰影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．

解：（1）連接OE．

∵OB＝OE

∴∠OBE＝∠OEB

∵BE是∠ABC的角平分線

∴∠OBE＝∠EBC

∴∠OEB＝∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C＝90°

∴∠AEO＝∠C＝90°

∴AC是⊙O的切線；

（2）連接OF．

∵sinA＝，∴∠A＝30°

∵⊙O的半徑為4，∴AO＝2OE＝8，

∴AE＝，∠AOE＝60°，∴AB＝12，

∴BC＝AB＝6，AC＝6，

∴CE＝AC﹣AE＝2．

∵OB＝OF，∠ABC＝60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB＝60°，CF＝6﹣4＝2，∴∠EOF＝60°．

∴S梯形OECF＝（2+4）×2＝6．

S扇形EOF＝，

∴S陰影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝．