Question

如圖，小明按下面的方法作∠MON的平分線：
（1）反向延長射線OM；
（2）以O為圓心，任意長為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點A，B，交射線OM的反向延長線于點C；
（3）連接OB；
（4）以O為頂點，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．
（i）根據上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說明理由．
（ii）若過點A作⊙O的切線交射線OP于點F，連接AB交OP于點E，當∠MON=60°，OF=10時，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理結合作圖方法就可證明；
（2）根據所給的角的度數發現30°的直角三角形和等邊三角形，利用它們的性質進行計算．

解答：解：（1）射線OP是∠MON的平分線．
∵∠MON和∠3所對的弧是同弧
∴∠MON=2∠3
又∵∠1=∠3
∠1+∠2=2∠3
∴∠1=∠2=∠3
∴OP是∠MON的平分線

（2）∵AF切于⊙O
∴OA⊥AF
∵∠MON=60°
∴∠1=30°
在Rt△OAF中，cos30°=

OA

OF

，且OF=10
∴OA=5

3

∵OA=OB且∠MON=60°
∴△OAB是等邊三角形
∴AE=

1

2

OA=

5 3

2

點評：注意作圖過程中的都是已知條件；綜合運用了30°的直角三角形的性質和等邊三角形的性質．