Question

親愛的同學們，在我們進入高中以后，將還會學到三角函數公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
例：sin75°=sin（30°+45°）=sin30° cos45°+cos30° sin45°=

2 + 6

4

（1）試仿照例題，求出cos75°的準確值；
（2）我們知道：tanα=

sinα

cosα

，試求出tan75°的準確值；
（3）根據所學知識，請你巧妙地構造一個合適的直角三角形，求出tan75°的準確值（要求分母有理化），和（2）中的結論進行比較．

Answer 1

分析：從題中給出的信息進行答題：
（1）把75°化為30°+45°直接代入三角函數公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ計算即可；
（2）把tan75°代入tanα=

sinα

cosα

，再把（1）及例題中的數值代入即可．
（3）根據題意畫出圖形，利用三角函數的定義解答即可．

解答：解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，
=

3

2

×

2

2

-

1

2

×

2

2

=

6 - 2

4

；

（2）∵tanα=

sinα

cosα

，
∴tan75°=

sin75°

cos75°

=

2 + 6 4

6 - 2 4

=2+

3

；

（3）如下圖：tan75°=tan∠CBD=

CD

BC

=

3 a+2a

a

=

3

+2．

點評：本題是信息題，解答此題的關鍵是：
（1）按照cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ求出了cos75°的值；
（2）按照tanα=

sinα

cosα

，求出了tan75°的準確值；
（3）利用三角函數值的定義解答．