Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx經過點A（﹣3，4），直線l與x軸相交于點B，與∠AOB的平分線相交于點C，直線l的解析式為y=kx﹣5k（k≠0），BC=OB．

（1）若點C在此拋物線上，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，過點A作y軸的平行線，與直線l相交于點D，設P為拋物線上的一個動點，連接PA、PD，當時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）（﹣1，0）或（﹣5，）

【解析】

試題分析：（1）如圖，先求出B點坐標，則可得到OA=OB=5，再證明AO∥CB，加上OB=BC=5，則可判斷四邊形AOBC為平行四邊形，所以AC∥OB，AC=OB=5，于是得到C（2，4），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）如圖，先確定直線l的解析式為y=﹣x+，再確定D點坐標，則可求出AD的長，設P（t，t2+t），利用三角形面積公式和得到|t+3|=54，然后解絕對值方程求出t的值，從而可確定點P的坐標．

試題解析：（1）如圖，A（﹣3，4），

∴OA==5，

當y=0時，kx﹣5k=0，解得x=5，則B（5，0），

∵BC=BO=5，

∴∠BOC=∠BCO，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠AOC=∠BCO，

∴AO∥CB，

而OA=BC=5，

∴四邊形AOBC為平行四邊形，

∴AC∥OB，AC=OB=5，

∴C（2，4），

把A（﹣3，4），C（2，4）代入y=ax2+bx得，

解得a=，b=，

∴拋物線的解析式為y=x2+x；

（2）如圖，把C（2，4）代入y=kx﹣5k得2k﹣5k=4，解得k=﹣，

∴直線l的解析式為y=﹣x+，

當x=﹣2時，y=﹣x+=，則D（﹣3，），

∴AD=﹣4=，

設P（t，t2+t），

∵，

∴|t+3|=54，解得t=﹣1或t=﹣5，

∴點P的坐標為（﹣1，0）或（﹣5，）．