Question

【題目】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .

（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段AF與BE的數量關系并證明你的結論；

（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數量關系，直接寫出你的結論（不需證明）；

（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關于AF、BE的比值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）（1）中結論不成立.

【解析】試題分析：（1）連接AD，利用等腰三角形中的三線合一，即可證得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，證得∠5=∠4，則可得△BDE≌△ADF，則AF=BE；

（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，即可得到；

（3）可證得有兩角對應相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函數即可求得比值．

（1）如圖，連接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點

∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°

∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°

∴∠3+∠5==90°

∵∠3+∠4==90°

∴∠5=∠4

∵BD=AD

∴△BDE≌△ADF.

∴BE=AF；

（2）根據（1）可得BE=AF，

所以AB-BE=AC-AF，即AE=FC，

∵∠BAC=90°，

∴，

∴

（3）（1）中的結論BE=AF不成立.

∵∠B=30°，AD⊥BC于點D，∠BAC=90°,

∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°.

∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°

∴∠B="∠2" ， ∠5=∠4.

∴△BDE∽△ADF.

∴.