Question

【題目】已知直線l1∥l2∥l3 ， 等腰直角△ABC的三個頂點A，B，C分別在l1 ， l2 ， l3上，若∠ACB=90°，l1 ， l2的距離為1，l2 ， l3的距離為3，求：
（1）線段AB的長；
（2） 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

過A作AN⊥直線l3于N，過B作BM⊥l3于M，

則∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，

∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，

∴∠MBC=∠ACN，

在△BMC和△CNA中

∴△BMC≌△CNA，

∴BM=CN，AN=CM，

∵l1，l2的距離為1，l2，l3的距離為3，

∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，

在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC= =5，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= =5

（2）解：∵直線l2∥直線l3，

∴∠DBC=∠BCM，

∵∠BCD=∠BMC=90°，

∴△BCD∽△CMB，

∴ = ，

∴ = ，

∴BD= ，

∵AB=5 ，

∴ = =

【解析】（1）過A作AN⊥直線l3于N，過B作BM⊥l3于M，根據全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根據全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根據勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；（2）根據平行線性質得出∠DBC=∠BCM，根據相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．