Question

（本題滿分12分）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角 形的“等分積周線”．
嘗試解決：
 （1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出.請你幫小明在圖1中畫出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

Answer 1

解：(1) 作線段AC的中垂線BD即可.………………………………………………2分
(2) 小華不會成功．
若直線CD平分△ABC的面積
那么
∴    
∴ …………………………………………………………………4分
∵
∴
∴ 小華不會成功．………………………………………………………………5分
（3）① 若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求線段．……………………6分
② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：
（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖所示
過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G
易求，BG=4，AG=CG=3
設CF=x，則CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根據面積相等，可得……………………………7分
∴ （舍去，即為①）或
∴ CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線．……………………………8分
（b）直線與AB、AC分別交于M、N, 如圖所示
由 (a)可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．
（仿照上面給分）
(c) 直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖所示
過點A作AY⊥BC于點Y，過點P作PX⊥BC于點X
由面積法可得， AY=
設BP=x，則BQ=8-x
由相似，可得PX= 
根據面積相等，可得………………………………………11分
∴ （舍去）或
而當BP時，BQ=，舍去．
∴ 此種情況不存在．……………………………………………12分
綜上所述，符合條件的直線共有三條．
（注：若直接按與兩邊相交的情況分類，也相應給分）

解析