Question

如圖，直線PM切⊙O于點M，直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM，連接OM、BC．
求證：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA²=OP•BC．

Answer 1

分析：（1）因為PM切⊙O于點M，所以∠PMO=90°，又因為弦AB是直徑，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有條件弦AC∥PM，可證得∠CAB=∠P，進而可證得△ABC∽△POM；
（2）由（1）可得

AB

PO

=

BC

OM

，又因為AB=2OA，OA=OM；所以2OA²=OP•BC．

解答：證明：（1）∵直線PM切⊙O于點M，
∴∠PMO=90°，
∵弦AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB=∠P，
∴△ABC∽△POM；

（2）∵△ABC∽△POM，
∴

AB

PO

=

BC

OM

，
又AB=2OA，OA=OM，
∴

2OA

PO

=

BC

OA

，
∴2OA²=OP•BC．

點評：本題考查了切線的性質：①圓的切線垂直于經過切點的半徑；②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心和相似和圓有關的知識，具有一定的綜合性．