Question

【題目】某數學興趣小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的性質時，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想
如圖1，當點D在線段BC上時，

①BC與CF的位置關系為： ，
②BC，DC，CF之間的數量關系為：；（將結論直接寫在橫線上）
（2）數學思考
如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，（1）中的①，②結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．

（3）拓展延伸
如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請直接寫出GE的長．

Answer 1

【答案】
（1）垂直,BC=CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°．

∴∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，

∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC．

（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如圖3所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC= AB=2 ，AH= BC= ，

∴CD= BC= ，CH= BC= ，

∴DH= ，

由（2）證得BC⊥CF，CF=BD= ，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH與△DEM中， ，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM=DH= ，DM=AH= ，

∴CN=EM= ，EN=CM= ，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=2 ，

∴GN=CG﹣CN= ，

∴EG= = = ．

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

所以答案是：垂直；②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

所以答案是：BC=CF+CD；

【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．