Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點，N為AD上的一點，且AN= AD，試猜測△CMN是什么三角形，請證明你的結論．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

Answer 1

【答案】解：△CMN是直角三角形．理由如下： 設正方形ABCD的邊長為4a，則AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中點，
∴AM=BM=2a．
∵AN= AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，滿足AM2+AN2=MN2 ， 且AM=2a，AN=a，
∴MN= a．
同理可得：MC= a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（ a）2+（ a）2=25a2 ， NC2=（5a）2=25a2 ，
∴MN2+MC2=NC2 ，
∴△CMN是直角三角形
【解析】可設正方形ABCD的邊長為4a，利用勾股定理分別求出NC，MN，CM的值，計算得出MN2+MC2=NC2 ， 根據勾股定理的逆定理可判定△CMN是直角三角形．
【考點精析】利用勾股定理的概念和勾股定理的逆定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．