Question

【題目】如圖1所示，有四個同樣大小的直角三角形，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，拼成一個正方形，中間留有一個小正方形．

（1）利用它們之間的面積關系，探索出關于a、b、c的等式；

（2）利用（1）中發現的直角三角形中兩直角邊a，b和斜邊c之間的關系，完成問題：如圖2，在直角△ABC中，∠C＝90°，且c＝6，a+b＝8，則△ABC的面積為　 　；

（3）如圖3所示，CD是直角△ABC中斜邊上的高，試證明CD2＝ADBD．

Answer 1

【答案】（1）c2＝a2+b2；（2）7；（3）詳見解析．

【解析】

（1）根據大正方形的面積的不同表示方法，即可得到于a，b，c的等式；

（2）根據（a+b）2=64，a2+b2=c2=36，即可得到ab=14，進而得出△ABC的面積；

（3）證明△ACD∽△CBD 即可得到結論.

（1）由題意得，c2＝4××ab+（b﹣a）2 即c2＝a2+b2

（2）由（1）得，c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab＝36，

∴ab＝14

∴S＝＝7

故答案為：7．

（3）由題可知，∠ACD＝∠CBD

∠ADC＝∠CDB

∠CAD＝∠BCD

∴△ACD∽△CBD

∴，即CD2＝ADBD．