Question

（2012•上城區二模）如圖①，P為△ABC內一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
（1）利用直尺和圓規，在圖②中作出△ABC的自相似點P（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；
（2）若△ABC的三內角平分線的交點P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

Answer 1

分析：（1）作法如下：（i）在∠ABC內，作∠CBD=∠A；（ii）在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC；BD交CE于點P，如圖所示，P為△ABC的自相似點；
（2）根據題意畫出相應的圖形，連接BP，CP，由P為三角形ABC的內心，得到BP、CP分別為角平分線，可得出∠PBC為∠ABC的一半，∠PCB為∠ACB的一半，而P為三角形的自相似點，根據題意只能是三角形BPC相似于三角形ABC，根據相似三角形的對應角相等得到∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，∠BPC=∠ACB，由三角形ABC三內角之和為180°，等量代換可得出∠BAC的度數，進而求出∠ABC與∠ACB的度數．

解答：解：（1）如圖所示：

∴點P為所求作的點；
（2）如圖所示：

連接PB，PC，
∵P為△ABC的內心，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠BCP=

1

2

∠ACB，
即∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
而P為△ABC的自相似點，由條件可知，只能是△BCP∽△ABC，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC，
∴∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BCP=4∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC=180°，
∴∠BAC=

180°

7

，
則該三角形三個內角的度數分別為（

180

7

）°，（

360

7

）°，（

720

7

）°．

點評：此題屬于相似的綜合題，涉及的知識有：尺規作圖作一個角等于已知角，相似三角形的性質，三角形的內心，以及三角形的內角和定理，利用了轉化及等量代換的思想，其中弄清題中的新定義：自相似點是解本題的關鍵．