Question

【題目】已知頂點為A(2，一1)的拋物線與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點，點C坐標(1，O)；

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)連接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；

(3)點P在x軸正半軸上位于點D的右側，如果∠APB=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）P（3+，0）

【解析】試題分析：（1）由題意得，設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，再將C點坐標代入可求a的值；（2）先求證∠BDA=90°，即△ABD是直角三角形，求AB、BD的值，再根據計算即可；（3）先證明△PDB∽△ADP得出PD2=BDAD，求得PD的值，再根據OP＝OD+PD，即可求得點P的坐標；

試題解析：

解：（1）∵頂點為A（2，﹣1）的拋物線經過點C（1，0），

∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

把（1，0）代入可得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,

∴B（0,3）

∵OB=OD=3，

∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，

∴∠BDA=90°，

∵AB＝ ，BD＝

∴

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，

∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，

∴△PDB∽△ADP，

∴PD2=BDAD=3=6，

∴PD=，

∴OP=3+，

∴點P（3+，0）．