Question

16．直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)E．
①請直接寫出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出m的值；
②點(diǎn)P（0，t）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與0、B重合），
經(jīng)過點(diǎn)P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
③當(dāng)t=2時(shí)，線段MN，BC，AE之間有什么關(guān)系？（寫出過程）

Answer 1

分析 （1）由直線的解析式可求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線y=x+m即可求出m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，t），首先求出x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，再求出x_N=t-9，進(jìn)而得到d=x_M-x_N=-$\frac{3}{2}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12；
（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)P是OB中點(diǎn)，即可得出MN是梯形ABCE的中位線即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∵直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)C，
∴m=9，
（2）∵M(jìn)N 經(jīng)過點(diǎn)P（0，t）且平行于x軸，
∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，t），
∵點(diǎn)M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴t=-$\frac{4}{3}$x_M+4，得x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，
同理點(diǎn)N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t-9，
∵M(jìn)N∥x軸且線段MN的長度為d，
∴d=x_M-x_N=-$\frac{3}{4}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12（0≤t≤4）
（3）MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．
理由：當(dāng)t=2時(shí)，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴點(diǎn)P是OB中點(diǎn)，
∵M(jìn)N∥x軸，
∴MN是梯形ABCE的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，梯形的中位線，待定系數(shù)法，解本題的關(guān)鍵得出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，是一道比較簡單的中考常考題．