Question

【題目】如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，點(diǎn)P在線段AB上以3 cm/s的速度，由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BD上由B向D運(yùn)動(dòng)．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=1（s），△ACP與△BPQ是否全等？說(shuō)明理由，并直接判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

（2）將 “AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△ACP與△BPQ全等.

（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)E，使C，D分別是AE，BD中點(diǎn)，若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABE三邊運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見(jiàn)解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或（3）9s

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

（3）因?yàn)?/span>VQ＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP與△BPQ中，，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

則線段PC與線段PQ垂直.

（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度x,

①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，

，

解得，

②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，

解得，

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等.

（3）因?yàn)?/span>VQ＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，

設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，

∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點(diǎn)；

∴EB=EA=18cm.

當(dāng)VQ=1時(shí)，

依題意得3x=x+2×9，

解得x=9；

當(dāng)VQ=時(shí)，

依題意得3x=x+2×9，

解得x=12.

故經(jīng)過(guò)9秒或12秒時(shí)P與Q第一次相遇.