Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．

（1）求證：AD⊥CF；

（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ACF是等腰三角形，見解析

【解析】

（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG＝90°，需證明∠CAG＝∠BCF，利用三角形全等，易證．

（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系．根據（1）的推導，易證CF＝AF，從而判斷其形狀．

（1）證明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°．

∴∠BDE＝45°．

又∵BF∥AC，

∴∠CBF＝90°．

∴∠BFD＝45°＝∠BDE．

∴BF＝DB．

又∵D為BC的中點，

∴CD＝DB．

即BF＝CD．

在△CBF和△ACD中，

，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．

∴∠BCF＝∠CAD．

又∵∠BCF+∠GCA＝90°，

∴∠CAD+∠GCA＝90°．

即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，理由為：

連接AF，如圖所示，

由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，

∴BE垂直平分DF，

∴AF＝AD，

∵CF＝AD，

∴CF＝AF，

∴△ACF是等腰三角形．