Question

【題目】在平面直角坐標系中，點P是第一象限角平分線上的一點，OP=,直角三角板的直角頂點與點P重合，把直角三角板繞點P轉動，另兩條直角邊所在直線與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點

(1)求點P的坐標

(2)若點A的坐標為(0，m)，點B的坐標為(n，0)，試判斷m、n有什么數量關系，并說明理由

(3)連接AB，△ABO的面積是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（1,1）；（2）m+n=2；（3）

【解析】

（1）過P點向坐標軸作垂線PE垂直于x軸PF垂直于y軸，然后利用勾股定理；

（2）證明△PBE≌△PFA,然后直接得出m+n的值；

（3）由（2）可知四邊形AOBP的面積是定值，然后根據四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積可知當△ABP的面積最小時，△ABO的面積能取到最大值.

解：（1）過P點作過P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，

∵P是第一象限角平分線上的一點

∴PE=PF ，∠POE=45°，

∴OE=PE

在Rt△PEO中，

則2=2

∴PE=1

∴P點的坐標為（1,1）

（2）由（1）可知PE⊥x軸，PF⊥y軸

∴PE⊥PF，

∴∠APE+∠APF=90°，

又∵∠APE+∠BPE=90°，

∴∠APF=∠BPE，

∵PE=PF，∠PFA=∠PEB=90°，

∴△APF≌△BPE，

∴AF=BF

則AO+OB=AO+OE+EB=AO+OE+FA=2OE=2

∴m+n=2

（3）△ABO的面積存在最大值為.理由如下：

由（2）可知△APF≌△BPE，

∴四邊形AOBP的面積=四邊形OEPF的面積=1，是定值，

又∵四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積，

由（2）可知△ABP是等腰直角三角形，面積=，

∴當AP取最小值為1時，△ABP面積有最小值為，此時△ABO的面積為最大等于.