Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O與邊BC交于點D，與邊AC交于點E，過點D作DF⊥AC于F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若DE=，AB=，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接AD、CD，則∠ADB=90°，AD⊥BC，又因為AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；

（2）連接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BC，ED⊥BD，故∠EAD=∠BAD， 　　　=，ED=BD，OE=OB，

故OD垂直平分EB，EG=BG，因為AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2-DG2=BO2-OG2，代入數值即可求出AE的值.

證明：（1）連接AD，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF為⊙O的切線；

（2）連接BE交OD于G，∵AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，∴∠EAD=∠BAD，∴，∴ED=BD，OE=OB，∴OD垂直平分EB，∴EG=BG，又AO=BO，

∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，

BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，∴（）2－（－OG）2=BO2－OG2，

解得：OG=．∴AE=2OG=．

“點睛”本題比較復雜，涉及到切線的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性質，具有很強的綜合性.