Question

如圖所示，在直角坐標系中，矩形OBCD的邊長OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一個動點，動點Q在PB或其延長線上運動，OP=PQ，作以PQ為一邊的正方形PQRS，點P從O點開始沿線段OB方向運動，直到點P與點B重合，設OP=x，正方形PQRS與矩形OBCD重疊部分的面積為y，寫出y與x的函數關系式；
（2）在（1）中，當x分別取1和3時，y的值分別是多少？
（3）已知直線l：y=ax-a經過一定點A，求經過定點A且把矩形OBCD的面積平均分成兩部分的直線l的函數解析式．

Answer 1

解：（1）y=x²；（0≤x≤2）
y=-2x+8．（2＜x≤4）

（2）當x=1時，y=x²=1；
當x=3時，y=-2x+8=2．

（3）矩形OBCD的對角線交點的坐標為M（2，1），
把（2，1）代入y=ax-a得到a=1，
∴直線l的函數解析式為y=x-1．
分析：（1）本題要分兩種情況．
①當RQ≤BC時，即當0≤x≤2時，重合部分是正方形PSRQ的面積，因此y=x²．
②當RQ＞BC時，即2＜x≤4時，重合部分是個矩形，且以（4-x）為長，以BC為寬，因此此時的函數關系為y=2（4-x）．
（2）由于（1）是分段函數，先根據x的值，確定所在的取值范圍，然后代入所符合的函數關系式中求解即可．
（3）因為矩形OBCD是中心對稱圖形，且對稱中心為對角線的交點，設為M．
所以經過對稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分．求出M （2，1），因為直線y=ax-a過M （2，1）易求解析式．
點評：本題是一次函數與二次函數的綜合題，考查了一次函數與二次函數的應用以及圖形面積的求法．