Question

【題目】如圖1所示，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使，將一塊透明的三角尺的直角頂點放在點O處，邊OM在射線OB上，邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角尺繞點O逆時針旋轉至如圖2所示的位置，使邊OM在的內部，且恰好平分，求的度數.

（2）將圖1中的三角尺繞點O按每秒的速度逆時針旋轉一周，在旋轉過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角，則t的值為________（直接寫出結果）.

（3）將圖1中的三角尺繞點O逆時針旋轉至如圖3所示的位置，使ON在的內部，請探究與之間的關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）t的值為6秒或24秒；（3）∠AOM-∠NOC=30°，理由見解析．

【解析】

（1）根據鄰補角的定義可求出∠BOC的度數，再根據角平分線的定義求出∠COM，然后根據∠CON=90°+∠MOC解答；
（2）∠AOC=60°，則∠AOD=30°或∠AON=30°，即逆時針旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，據此求解；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）∵∠BOC+∠AOC=180°，∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠MOC=60°，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=90°+∠MOC=150°；

（2）∠AOC=60°，
①如左圖，延長NO，
當直線ON恰好平分銳角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即逆時針旋轉60°時NO延長線平分∠AOC，
由題意得，10t=60，
∴t=6；
②如右圖，當NO平分∠AOC，
∴∠AON=30°，
即逆時針旋轉240°時NO平分∠AOC，
∴10t=240，
∴t=24，
∴t的值為6秒或24秒；

（3）∵∠MON=90°，，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，
∴∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．

故答案為（1）150°；（2）t的值為6秒或24秒；（3）∠AOM-∠NOC=30°，理由見解析．