Question

【題目】有一家苗圃計劃種植桃樹和柏樹．根據市場調查與預測，種植桃樹的利潤y1（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖①所示的二次函數y1=ax2；種植柏樹的利潤y2（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖②所示的正比例函數y2=kx．

（1）分別求出利潤y1（萬元）和利潤y2（萬元）關于投資成本x（萬元）的函數關系式；

（2）如果這家苗圃投入10萬元資金種植桃樹和柏樹，苗圃至少能獲得多少利潤？若要使這家苗圃獲得5萬元利潤，資金投入如何分配（桃樹和柏樹都要種植）？

Answer 1

【答案】（1）y2=x （2）4萬 投入8萬元種植桃樹，投入2萬元種植柏樹．

【解析】【試題分析】（1）將（4,1）代入y1=ax2，求a即可；將（2，1）代入y2=kx即可；（2）設種植桃樹的資金投入為x萬元，兩項投入所獲得的總利潤為y萬元，則種植柏樹的資金投入為（10﹣x） 萬元，根據題意得：y=x2+（10﹣x）=（x﹣4）2+4．

根據二次函數的性質，得：a=＞0，則拋物線的開口向上，

故：當x=4時，y有最小值，y最小=4萬元．

當（x﹣4）2+4=5時，

解得：x1=8，x2=0（不合題意，舍去）．

則10﹣x=10﹣8=2．

從而得解.

【試題解析】

（1）∵拋物線y1=ax2經過點（4，1），

∴42×a=1，解得：a=，

∴y1關于x的函數關系式為y1=x2．

∵y2=kx經過點（2，1），

∴2k=1，解得k=，

∴y2關于x的函數關系式為y2=x．

（2）設種植桃樹的資金投入為x萬元，兩項投入所獲得的總利潤為y萬元，則種植柏樹的資金投入為（10﹣x） 萬元，

根據題意得：y=x2+（10﹣x）=（x﹣4）2+4．

∵a=＞0，

∴拋物線的開口向上，

∴當x=4時，y有最小值，y最小=4萬元．

當（x﹣4）2+4=5時，

解得：x1=8，x2=0（不合題意，舍去）．

∴10﹣x=10﹣8=2．

答：苗圃至少獲得4萬元利潤；若要使這家苗圃獲得5萬元利潤，要投入8萬元種植桃樹，投入2萬元種植柏樹．