Question

【題目】如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，AC=BC，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的負半軸上，點B在第二象限．

（1）若AC所在直線的函數表達式是y=2x+4．
①求AC的長；
②求點B的坐標；
（2）若（1）中AC的長保持不變，點A在y軸的正半軸滑動，點C隨之在x軸的負半軸上滑動．在滑動過程中，點B與原點O的最大距離是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①當x=0時，y=2x+4=4，

∴A（0，4）；

當y=2x+4=0時，x=﹣2，

∴C（﹣2，0）．

∴OA=4，OC=2，

∴AC= =2 ．

②過點B作BD⊥x軸于點D，如圖1所示．

∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，

∴∠CAO=∠BCD．

在△AOC和△CDB中， ，

∴△AOC≌△CDB（AAS），

∴CD=AO=4，DB=OC=2，

OD=OC+CD=6，

∴點B的坐標為（﹣6，2）．

（2）5+
【解析】（2）如圖2所示．
取AC的中點E，連接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2 ，
∴OE=CE= AC= ，
∵BC⊥AC，BC=2 ，
∴BE= =5，
若點O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=5+ ．
若點O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=5+ ，
∴當O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為5+ ，
所以答案是：5+ ．

【考點精析】通過靈活運用三角形三邊關系和勾股定理的概念，掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．