Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線PDE垂直AB于點F，交BC于點G，連接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列問題：
（1）求證：CP是⊙O的切線．
（2）當∠ABC=30°，BG=2

3

，CG=4

3

時，求以PD、PE的長為兩根的一元二次方程．
（3）若（1）的條件不變，當點C在劣弧AD上運動時，應再具備什么條件可使結論BG²=BF•BO成立？試寫出你的猜想，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證∠OCP=90°即可；
（2）根據已知條件發現等邊三角形CPG，則PC=CG．根據切割線定理求得PD和PE的積；再根據等邊三角形的性質和30°的直角三角形的性質求得PD，PE的長，從而寫出方程；
（3）要讓此結論成立，只要證明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的條件都可以．

解答：（1）證明：連接OC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠OCB=∠B，∠BAC=∠BCP，
∴∠OCP=90°．
∴CP是⊙O的切線．

（2）解：∵∠B=30°，
∴∠A=60°，∠BGP=∠B+∠BFP=120°．
∴∠CGP=60°，
∴∠BCP=∠CGP=60°．
∴△CPG是正三角形．
∴PG=CP=4

3

．
∵PC切⊙O于C，
∴PC²=PD•PE=(4

3

)2=48．
又∵BC=6

3

，
∴AB=12，FD=3

3

，FG=

3

．
∴PD=2

3

．
∴PD+PE=2

3

+8

3

=10

3

．
∴以PD、PE為兩根的一元二次方程為x²-10

3

x+48=0．

（3）解：當G為BC中點，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC時，
結論BG²=BF•BO成立．要讓此結論成立，只要證明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的條件都可以．

點評：此題主要考查切線的判定，切割線定理，相似三角形的判定及根與系數關系的綜合運用能力．